Autovalori e autovettori. Definizione di autovalore dominante. Il metodo delle potenze per il calcolo dell'autovalore dominante. Convergenza del metodo delle potenze. L'algoritmo di PageRank di Google. Applicazione del metodo delle potenze al calcolo del PageRank.
Approssimazione ai minimi quadrati.Matrici ortogonali. Matrici di Householder. Matrici di Givens. La fattorizzazione QR. Calcolo della fattorizzazione QR usando le matrici di Givens e quelle di Householder. Il problema dell'approssimazione di dati sperimentali. Applicazione della fattorizzazione QR al problema dell'approssimazione polinomiale ai minimi quadrati.
La Decomposizione ai Valori Singolari (SVD).Definizione e proprietà dei valori singolari. Vettori singolari destri e sinistri. Pseudoinversa di Moore-Penrose. Risoluzione del problema ai minimi quadrati attraverso la SVD. Applicazione della Decomposizione ai Valori Singolari alla compressione di immagini digitali. Cenni al calcolo dei valori singolari (Metodo QR+Tecniche di bidiagonalizzazione).
Sistemi Non Lineari.Sistemi di equazioni non lineari. Problemi di punto fisso. Il metodo di Newton per sistemi non lineari. Il metodo di Newton modificato.
Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie.Discretizzazione di problemi ai valori iniziali. Il teorema di Cauchy. Esempi di derivazione di metodi numerici. I metodi multistep lineari. Il primo e il secondo polinomio caratteristico di un metodo multistep lineare. Metodi impliciti ed espliciti. Metodi ad un asso: il metodo di Eulero Esplicito, Eulero Implicito, dei Trapezi. Un esempio di metodo a due passi: il metodo del Midpoit Esplicito. Convergenza, consistenza e zero-stabilità dei metodi multistep. L'errore locale di troncamento. Ordine di un metodo multistep lineare. Condizioni di consistenza e condizioni di ordine. Equazioni alle differenze lineari. Il criterio delle radici per la zero-stabilità di un metodo multistep. Il teorema di convergenza per metodi numerici (Enunciato). I metodi Runge-Kutta. Descrizione dei metodi Runge-Kutta (Butcher tableau).
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