Equazioni alle derivate parziali. Ordine di un'equazione alle derivate parziali. Operatori differenziali: gradiente, divergenza, laplaciano e rotore. Esempi di equazioni alle derivate parziali. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali. Equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche. Classificazione alternativa: equazioni stazionarie e di evoluzione.
Derivazione numerica.Approssimazione delle derivate prima e seconda tramite differenze finite. Approssimazione alle differenze centrali, in avanti e all'indietro. Definizione di ordine di un'approssimazione.
Equazioni Ellittiche.L'equazione di Laplace. Funzioni armoniche e principio del massimo. Approssimazioni di ordine superiore. Metodo a 5 punti per l'equazione di Laplace. Ordinamento delle incognite. Ordinamento Lessicografico, di Cuthill-McKee, Red-Black, Multicolore. Stuttura della matrice dei coefficienti. Convergenza del metodo a 5 punti. Metodi di ordine superiore per l'equazione di Laplace. Il Metodo a 9 punti per l'equazione di Poisson. Equazione di Laplace su domini irregolari. Il caso del dominio circolare. L'equazione di Laplace in coordinate polari. Approssimazione della derivata seconda su griglie non equidistanti.
Equazioni Paraboliche.Equazioni di evoluzione. Esempi: l'equazione di Schröedinger. L'equazione del calore in una dimensione. Il problema ai valori iniziali. Il problema ai valori al contorno. Il metodo di Eulero Esplicito per l'equazione del calore. La costante di Courant. Analisi di stabilità di von Neumann. Il Metodo alle Differenze Centrali Implicito. Il metodo di Crank-Nicolson. I Theta-metodi. Analisi di Stabilità per i Theta-metodi (Enunciato). Metodi numerici per l'equazione del calore in due dimensioni. Theta-metodi per problemi lineari in due dimensioni. Il metodo delle direzioni alternate.
Equazioni Iperboliche.L'equazione d'onda. Il problema di Cauchy. Il problema ai valori iniziali e al contorno. La formula di D'Alembert. Intervallo e dominio di dipendenza. Il metodo delle caratteristiche. Condizione di Courant, Friedrichs e Lewy (CFL). L'equazione d'onda del primo ordine. Il metodo di Lax-Friedrichs. Il metodo di Lax-Wendroff. L'equazione d'onda del secondo ordine. Un metodo implicito ed uno esplicito per l'equazione d'onda del secondo ordine.
Equazioni iperboliche non lineari.Equazioni in forma conservativa e non conservativa. L'equazione di Burgers. Curve caratteristiche per l'equazione di Burgers. Soluzioni discontinue: shock e rarefazione. La condizione di Courant, Friedrichs e Lewy per equazioni di flusso.
Appedince A: Metodi iterativi per sistemi sparsi e di grandi dimensioni.Il metodo di Jacobi. Il metodo di Gauss-Seidel. Il metodo del Rilassamento. Convergenza dei metodi iterativi.
Appedince B: Metodi agli Elementi Finiti per Equazioni alle Derivate Parziali.Problemi variazionali. Formulazione forte e formulazione debole dell'equazione di Poisson. Formula di Green. Metodo di Galerkin. Triangolazione dei domini. Funzioni base. Matrice di stiffness. Un esempio di assemblaggio della matrice di stiffness. Raffinamento delle triangolazioni.
Gli argomenti delle due appendici sono facoltativi, ovvero non saranno oggetto di domande d'esame.